Показано с 1 по 2 из 2

Тема: Решение задач по высшей математике

  1. #1
    Senior Member
    Регистрация
    19.03.2009
    Сообщений
    6,006

    По умолчанию Решение задач по высшей математике

    Задача 10 Даны матрицы
    1 1 2 2 -1 1 1 0 0
    А= -2 0 2 В= 3 4 -2 Е= 0 1 0
    0 -1 0 1 0 -1 0 0 1

    Найти матрицу С = 5В - АE + BA -2Е

    Решение:

    2 -1 1 1 1 2

    BA= 3 4 -2 · -2 0 2

    1 0 -1 0 -1 0

    2*1+(-1)*(-2)+1*0 2*1+(-1)*0+1*(-1) 2*2+(-1)*2+1*0

    3*1+4*(-2)+(-2)*0 3*1+4*0+(-2)*(-1) 3*2+4*2+(-2)*0

    2*1+(-1)*(-2)+1*0 2*1+(-1)*0+1*(-1) 2*2+(-1)*2+1*0

    4 1 2

    = -5 5 14

    1 2 2

    10 -5 5 2 0 0

    5В= 15 20 -10 2Е= 0 2 0 АЕ=А,

    5 0 -5 0 0 2

    1 1 2

    т.к. Е - единичная матрица АE = -2 0 2

    0 -1 0
    10-1+4-2 -5-1+1-0 5-2+2-0
    С= 15+2-5-0 20-0+5-2 -10-2+14-0
    5-0+1-0 0+1+2-0 -5-0+2-2
    11 -5 5
    12 23 2
    6 3 -5

    Задача 20

    Решить систему уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера.

    x + 2y + z = 5

    x - y -2z = -1

    2x + y + z = 4

    Решение:

    Метод Гаусса.
    1 2 1 5 1 2 1 5 1 2 1 5
    1 -1 -2 -1 ~ 0 -3 -3 -6 ~ 0 -3 -3 -6
    2 1 1 4 0 -3 -1 -6 0 0 2 0

    2z = 0, z = 0; -3y -3•0 = -6, y = 2; x + 2•2 + 1•0 = 5, x = 1.

    Решение системы {1;2;0}

    По формулам Крамера:

    - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных,

    x, y, z - получаются из путем замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов.
    1 2 1
    Д= 1 -1 -2 = -1+1-8+2-2+2= -6
    2 1 1
    5 2 1

    Дx=
    -1 -1 -2 = -5-1-16+4+2+10 = -6
    4 1 1
    X=Дx/Д= -6/(-6) = 1
    1 5 1

    Дy=
    1 -1 -2 = -1+4-20+2+8-5 = -12
    2 4 1

    Y=Дy/Д= -12/(-6) =2

    Z=Дz/Д= 0/(-6) = 0
    1 2 5

    Дя=
    1 -1 -1 = -4+5-4+10+1-8 = 0
    2 1 4

    Решение системы {1;2;0}

    Задача 30

    На плоскости задан треугольник координатами своих вершин А(2,3), В(-3,1), С(-4,5)

    Найти:

    - длину стороны АВ

    - уравнение стороны АВ

    - уравнение медианы АD

    - уравнение высоты СЕ

    - уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ

    - внутренний угол при вершине А

    - площадь треугольника АВС

    - координаты точки Е

    - сделать чертеж

    Решение:

    1. Длина стороны АВ:

    АВ= 5,385

    2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

    ; ;

    у = - уравнение прямой АВ, угловой коэффициент k--AB= 2/5

    3. Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам.

    Координаты середины ВС:

    х4 = (х2 + х3)/2 = 3,5, у4 = (у2 + у3)/2 = 3

    D (-3,5;3)

    Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, А и D:

    ; -5,5у = -16,5

    у = 3- уравнение прямой АD

    3. Высота СЕ перпендикулярна АВ, а значит угловой коэффициент высоты СЕ равен

    Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kСЕ, имеет вид:

    у - у3 = kСЕ (х - х3); у - 5 = -2,5(х+4)

    у = -2,5х -5 - уравнение высоты СЕ.

    5. Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой, проходящей через точку С (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kАВ, имеет вид:

    у - у3 = kАВ (х - х3); у - 5 = х +,

    у = х +, - уравнение прямой, параллельной АВ.

    6. Косинус внутреннего угла при вершине А вычисляется по формуле:

    , где

    - длины сторон АВ и АС соответственно.

    ,

    А = arc cos 0,7643 = 40о9'

    7. Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле:

    S = Ѕ(x2 - x1)(y3 - y1) - (x3 - x1)(y-2 - y1);

    S= Ѕ (-5)·2 - (-2) ·(-6) = 22/2 = 11 кв.ед.

    8. Координаты точки Е находим, решая совместно уравнения АВ и СЕ, т.к точка Е принадлежит им обоим:

    у = -2,5х -5

    у =

    0,4х +2,2 = -2,5х -5 2,9х = -7,2 х = -2,5

    у = 6,25 - 5 = 1,25 Е(-2,5;1,25)

    Задача 40

    Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить кривую.

    у2 + 2x - 2y -1 = 0

    Решение:

    Выделяем полные квадраты:

    у2- 2у +1 + 2х- 2 = 0

    (у - 1)2 = -2(х - 1)

    (х - 1) =-1/2(у - 1)2 - это уравнение параболы с центром в точке (1,1), ось симметрии - прямая

    у = 1, ветви параболы направлены влево.

    Задача 50

    Вычислить пределы.

    1)

    2)

    3)

    4)

    так как -первый замечательный предел

    5) , (a0)

    Обозначим х-а = t. Если х>а, то t>0, х = t+a, ln x-ln a =

    где -- второй замечательный предел.

    Задача 60

    Найти производные функций:

    1) y =

    y =

    2) у =

    3) y =

    y =

    4) y = ctg(excosx);

    y=

    Задача 70

    Провести полное исследование функции и построить ее график.

    у = ;

    Решение:
    1. Область определения функции: х (-; +).

    2. Поведение функции на границах области определения:

    3. у= х3 - х2 = х2(x-1); у= 0, если х1 = 0, х2 = 1;

    При х (-; 0), у 0, функция убывает.

    При х (0;1), у 0, функция убывает.

    В точке х = 0 экстремума нет.

    При х (1;+?), у 0, функция возрастает.

    В точке х =1 функция имеет локальный минимум.

    4. уmin = 1/4 - 1/3 = - 1/12.

    5. Выпуклость, точки перегиба графика функции:

    у= 3х2 - 2х = x(3x-2).

    у= 0, если 2х(6х -1) = 0, х1 = 0, х2 = 2/3;

    При х 0, у 0, график вогнутый.

    При 0 х 2/3, у 0, график выпуклый.

    При х 2/3, у 0, график вогнутый.

    Точки х1 = 0 и х2 = 2/3 - точки перегиба графика функции.

    у(0) = 0, у(2/3 ) -0,05

    6. Точки пересечения с осями координат:

    С осью ОХ. у = 0, = 0 х1 = 0, x2 = 4/3

    С осью ОУ. х = 0, у= 0.

    Задача 80

    Найти частные производные первого и второго порядка функций.

    z = x2•sin y + y2•cos x;

    Решение:
    =.

    Задача 90

    Дана функция. Показать, что

    Решение:
    =

    =

    =-= 0, что и требовалось доказать.

    Задача 100

    Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x3 + 8y3 -6xу+1 в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = -1.

    Решение:

    1. Ищем точки экстремумов внутри замкнутой области:

    3x2 = 6y, y =

    24y2 = 6x,

    x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0, y2 = Ѕ

    Точка О(0,0) и точка N (1, Ѕ)

    2. Ищем точки экстремумов на границах области:

    а) сторона АВ: х= 0, -1 у 1, z = 8у3+1;

    24у2, z = 0, если у = 0, точка (0,0).

    б) сторона ВС: у = 1, 0 х 2, z = х3 - 6х+9;

    3х2 - 6 = 0, х2 = 2 х = 1,4, точка х = -1,4 в замкнутую область не входит.

    х = 1,4 , - точка К (1,4;1)

    в) Сторона CD: х = 2, -1 у 1,

    z = 8 + 8у3- 12у+1 = 8у3- 12у+9;

    2у2 = 1, у = - точки M(2;0,7) и Q(2;-0,7)

    г) сторона АD: у = -1, 0 х 2, z = х3 + 6х-7;

    3х2 + 6 ? 0, при любых значениях х.

    2. Вычислим значения функции Z в точках А, В, С, D, О, К, M, N, Q.

    ZA = Z(0,-1) = -8+1=-7;

    ZB = Z(0,1) = 8+1=9;

    ZC = Z(2,1) = 8+8-12+1=5;

    ZD = Z(2,-1) = 8-8+12+1=13;

    ZK = Z(,1) = 2,8+8-8,4+1=3,4;

    ZO = Z(0,0) = 1;

    ZM = Z(2,0.7) = 8+2,7-8,4+1=3,3;

    ZN = Z(1,) = 0;

    ZQ = Z(2,-0.7) = 8-2,7+8,4+1=14,7;

    Zmin = -7, Zmax = 14,7.

    Задача 110

    Найти формулу вида y = ax + b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы):
    Х 1 2 3 4 5
    У 4,8 5,8 4,3 2,3 2,8

    Решение:

    Метод наименьших квадратов дает систему двух линейных уравнений для определения параметров ”a” и “b”:

    Подсчитаем суммы:

    1+2+3+4+5=15 1+4+9+16+25 = 55

    4,8+5,8+4,3+2,3+2,8=20 1·4,8+2·5,8+3·4,3+4·2,3+5·2,8 = 52,5

    Подставляем значения сумм в систему уравнений:

    52,5 -55a -15b = 0

    20 - 15a - 5 b = 0 (*3)

    a = -0.75

    20 - 15·(-0.75) = 5b; b = 31,25 : 5 = 6,25

    Искомая формула: y = -0,75x + 6,25.

    Задача 120

    Вычислить неопределенные интегралы:

    1)

    2)

    3)

    4) ; Подстановка: t = tg t; x = arctg t,

    dx =

    5) Подстановка:

    Задача 130

    Вычислить площадь, ограниченную заданными линиями:

    у = х2-- , y = 2- x2

    Решение:
    S =

    S

    Sкв.ед.

    Задача 140

    Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной заданными линиями:

    (у-3)2 +3х = 0, х = -3 вокруг оси Ох

    Решение:
    V =

    V =

    =6•27 =162 куб.ед.

    Литература:

    1. Л.Г. Лелевкина, В.В. Попов «Основы высшей математики». Бишкек, КРСУ, 2005 г.

    2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление» т.1 М. 1986 г.

  2. #2
    Senior Member
    Регистрация
    01.03.2018
    Сообщений
    155

    По умолчанию

    Чтобы научиться решать различные задачи по математике, вам понадобится не только знание теорем, определений и свойств. Давайте рассмотрим, что именно нужно будет делать, чтобы действительно правильно решить задачу:

    1) Прочитайте задачу так, чтобы вы запомнили ее содержание. Обычно, прочитать задачу 3-5 раз достаточно для запоминания - это поможет вам не отвлекаться на учебник в попытках найти условие или числа для расчетов.

    2) Попробуйте представить задачу в рисунке или табличке/схеме. Это упростит понимание и уберет все лишние элементы.

    3) Если задача не из легких, попробуйте провести аналогию с какой-то из простых. Для этого просмотрите ваши конспекты или уже решенные вами задачи. Обычно, в процессе обучения, преподаватели делают разбор некоторых базовых упражнений, на которых строятся остальные задания, что значительно упростит решение текущей задачи.

    4) Попалась сложная задача, с которой тяжело разобраться? Разбейте ее на более мелкие части и попробуйте сделать так, как написано в предыдущем пункте, только уже с каждой частью. Если вам попалась задача в несколько действий, то данный вариант вам поможет.

    5) В случае, если вы уже попробовали несколько вариантов решений, но ответ так и не найден, не опускайте руки! Просмотрите все варианты решений, которые вы уже сделали. Возможно, в одном из них скрывается верный путь или есть часть верного решения.

    6) Проверьте свои знания теории. Часто, в процессе решения задачи, какие-то из ее пунктов или положений могут забыться, что может помешать продуктивной работе и завести вас в тупик. Поэтому повторить, а лучше заучить ее – верный ход. Тем более, зная теорию, вам не нужно будет отвлекаться на учебник или методичку, чем вы сэкономите свое время.

    7) Обязательно проверяйте все знаки и цифры/числа. Обычная ошибка в цифре или знаке может стать причиной «нерешаемости» задачи.

    8) Старайтесь находить объяснения всем выводам, которые вы используете в процессе решения. Не придумывайте своих свойств, проверку истинности которых вы не производите.

    9) Если вы знаете ответ на задачу (есть в конце учебника, например), это так же может вам помочь. Как минимум, вы можете сравнить свой результат с уже имеющимся. А если ответ не сходится, значит, нужно проверить само решение.

    10) Решайте больше нестандартных задач. Это позволит вам гибче мыслить и находить решения даже в самых запутанных задачах.

Похожие темы

  1. Контрольная работа Решение задач исследования операций
    от Информатика в разделе Программирование
    Ответов: 0
    Последнее сообщение: 23.06.2009, 05:18
  2. Задача Решение задач по экономическому анализу
    от Дипломные работы в разделе Экономика и экономическая теория
    Ответов: 0
    Последнее сообщение: 10.06.2009, 19:12
  3. Контрольная работа Решение задач симплекс-методом
    от Курсовик в разделе Экономико-математическое моделирование
    Ответов: 1
    Последнее сообщение: 31.05.2009, 10:27
  4. Курсовая работа Решение транспортных задач
    от Дипломные в разделе Экономико-математическое моделирование
    Ответов: 1
    Последнее сообщение: 22.04.2009, 20:56
  5. Контрольная работа Решение экономических задач
    от Диссертации в разделе Математика
    Ответов: 0
    Последнее сообщение: 23.03.2009, 19:42

Метки этой темы

Ваши права

  • Вы не можете создавать новые темы
  • Вы не можете отвечать в темах
  • Вы не можете прикреплять вложения
  • Вы не можете редактировать свои сообщения
  •  
Яндекс.Метрика